El curso está dirigido a alumnos con formación en las ciencias biológicas y pretende servir de introducción al modelado matemático por medio de ecuaciones diferenciales y a su análisis de estabilidad lineal, aunque también se expondrán otro método matemático como lo es las Cadenas de Markov. Parte integral del curso será una revisión de los antecedentes matemáticos necesarios, a fin de que el alumno pueda entender su contenido.

La aplicabilidad de estos métodos en diversos sistemas biológicos se hará utilizando artículos y libros especializados. De esta manera se llevará a cabo la evaluación final.

I. Nociones Fundamentales

1. Introducción a los modelos matemáticos en la biología: El gemelo teórico.
2. Repaso
· Funciones reales.
· Notación funcional.
3. ¿Qué es una ecuación diferencial?
4. Significado matemático de la derivada.
5. Orden y grado de una ecuación diferencial.
6. Funciones reales de dos o más variables y sus derivadas parciales correspondientes.
7. Ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales.
8. Orden y grado de una ecuación diferencial parcial.
9. La diferencial de una función de una variable.
10. La diferencial de una función de dos y más variables.
11. ¿Qué significa resolver una ecuación diferencial?
12. Solución de una ecuación diferencial por inspección.
13. Ejemplos sencillos de modelado matemático.
14. Problemas de valor inicial.
15. Modelos de una sola ecuación diferencial.
16. Solución del estado estacionario de una ecuación diferencial.
17. Sujeciones externas.
18. Formalismo de la cinética química para modelar matemáticamente.
19. Un sistema de ecuaciones diferenciales.
20. El modelo de Lotka-Volterra.
21. Las soluciones del estado estacionario del modelo de Lotka-Volterra.
22. Ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.


II. Algunas técnicas para resolver ecuaciones diferenciales lineales ordinarias

1. Perspectivas del cálculo diferencial y del cálculo integral.
2. El teorema fundamental del cálculo.
3. Evaluación de integrales.
4. El segundo teorema fundamental del cálculo.
5. Solución de una ecuación diferencial ordinaria por el método de separación de variables.
6. Solución de una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden.
7. Un comentario sobre la integración numérica.
8. Algunos ejemplos de las ecuaciones diferenciales ordinarias que se saben resolver.
9. Aspectos distintivos de las ecuaciones diferenciales no lineales.


III. Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales por métodos geométricos

1. El método de las isoclinas.
2. Espacio fase.
3. Estabilidad, puntos fijos, atractores y cuencas de atracción en el espacio fase.
4. Ejemplos.
5. Sistema de dos ecuaciones diferenciales en el espacio fase.
6. El modelo de Lotka-Volterra en el espacio fase.

IV. Introducción al modelado matemático de sistemas auto-organizados

1. Fenómenos de autoorganización y las estructuras disipativas.
2. Cinética no lineal: Retroalimentación positiva y negativa; auto-catálisis y catálisis cruzada.
3. La difusión y la convección en el modelado matemático.
4. La 1ª Ley de Fick.
5. Ecuaciones de reacción-difusión en la biología.
6. La difusión en la biotecnología. La capa de difusión de Nernst.


V. Análisis de estabilidad lineal

1. Antecedentes:
· Expansión de una función de una variables en serie de potencias.
· Series de Taylor y de Maclaurin.
· Números complejos.
· Fórmula de Euler.
· Matrices.
· Multiplicación de matrices.
· Sistema de ecuaciones y matrices.
· Determinantes y el desarrollo de Laplace.
· El teorema fundamental del álgebra.
2. Análisis de estabilidad lineal o infinitesimal.
3. Sistema de ecuaciones diferenciales.
4. Análisis de estabilidad lineal aplicado al modelo de Lotka-Volterra.
5. Análisis de estabilidad lineal aplicado a un modelo descrito por dos ecuaciones diferenciales ordinarias.
6. Cálculos numéricos y el uso de la computadora.
7. Cambios de signo en las ecuaciones algebraicas de una variable.
8. Algunos teoremas relevantes.
9. Estructuras disipativas. El orden a través de fluctuaciones.
10. Estructuras disipativas temporales.
11. Estructuras disipativas espaciales.
12. Auto-organización, estructuras disipativas y la biología.
13. Reacciones químicas oscilantes.
14. Caos.


VI. Modelos matemáticos deterministas y estocásticos

1. Introducción a los modelos estocásticos.
2. Las Cadenas de Markov de 1er orden.
3. Aplicaciones.

Para repasar aspectos básicos

“Matematicas previas al cálculo”
Louis Leithold
Ediciones Harla (1989). QA39.2 L4518 En :(Biblioteca Central/ Fac. Contaduría y Admon./ Fac. de Ingeniería/ Fac. de Economía).

Ecuaciones diferenciales (lineales y no lineales)

1. "Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones"
Derrick, W.R. & Grossman S.I.
Fondo Educativo Interamericano (1984).

2. "Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems"
Boyce, W.E. & DiPrima, R.C.
Wiley (1977). QA371 B69 1977 En : (Instituto de Astronomía/ Fac. de Ciencias/ Fac. de Química).

3. “Linear and Nonlinear Differential Equations”
Huntley, I.D. & Jonson, R.M.
Ellis Horwood (1983). QA372 H84 [I. de Astronomía & I. de Matemáticas]

4. “Differential Equations. With Applications and Historiacal Notes”
Simmons, G.F.
McGraw-Hill (1972). [No está registrado en LIBRUNAM].


Ecuaciones de reacción-difusión

5. "Reactio-Diffusion Equations and Their Applications to Biology"
Britton, N.F.
Academic Press (1986). [No está registrado en LIBRUNAM].


6. “Diffusion Processes and Related Topics in Biology”
Ricciardi, L.M.
Lec. Notes in Biomathematics (Vol. 14). Springer-Verlag (1977). [No está registrado en LIBRUNAM].

7. “A Primer of Difusión Problems”
Ghez, Richard.
Wiley (1988). QA274.75 G44 En :(( I.F./C.C.M.C./I.I.Materiales/ICN/Fac.Q. Metalurgia]

8. “Mathematical Aspects of Reacting and Diffusing Systems”
Fife, P.C.
Springer. Heildelberg (1979). QH323.5 F53 (IIMAS).


Ecuaciones diferenciales y modelado matemático

9. “Nonlinear Differential Equations. Models in Biology”
Murray, J.D.
Oxford University Press (1977). QH323.5 M85 (En IIMAS y otro en Fac. Ciencias).

10. “Mathematical Models in Molecular and Cellular Biology”
Segel, L.A. (ed.)
Cambridge University Press (1980). QH506 S43 (En IIMAS/ Inst. Fisiología Celular)

11. “Modeling Dynamic Phenomena in Molecular and Cellular Biology”
Segel, Lee A.
Cambridge University Press (1987). QH506 S42
(En IIMAS/ 3 en Facultad de Ciencias/ 1 en Inst. Inv. Biomédicas/ 1 en Inst. de Ciencias Nucleares)

12. "Self-Organization in Nonequilibrium Systems"
Nicolás, G. & Prigogine I.
John Wiley & Sons (1977). (No está registrado en LIBRUNAM).


Otros

13. “Mathematics and the Unexpected”
Ekeland, I.
The University of Chicago Press (1988). QA614.58 E5418 (1 en Inst. Fisiología Celular/ 4 en Facultad de Ciencias/ 1 en Facultad de Química/y otras).

14. “Nonlinear Phenomena in Physics and Biology”
Errs, Jones, Miura & Rangnekar (eds.)
Plenum Press. N.Y. (1981). QC20.7N6 N64 (En IIMAS/ 1 en Inst. Fisiología Celular/ 1 en Instituto de Física).

15. “Molecules, Dynamics & Life. An Introduction to Self-Organization of Matter”.
A. Babloyantz
John Wiley & Sons (1986). (No está registrado en LIBRUNAM).

16. "Catastrophe Theory"
Arnold, V.I.
Springer-Verlag 2nd ed. (1986).

17. “Mathematical Biology”
Murray, J.D.
Springer-Verlag (1989). (No está registrado en LIBRUNAM, aunque hay otros libros con el mismo título pero diferentes autores).